さまざまな確率分布 probability distributions - 数理的思考 - 中川雅央 【知と情報の科学】

■　さまざまな確率分布 (probability distributions)

　観測される現象の多くは確率的に変動する事象です．その観測されたデータを説明する統計モデルに，どの確率分布を使えばうまく説明できるでしょうか．
　正規分布や二項分布など，確率分布の種類は数多く，いろいろなカタチ（分布形）があります．確率分布の当てはめを考えるには，そのカタチ（分布形）を知ることが重要です．各確率分布の母数（パラメータ）によってそのカタチ（分布形）が決まります．確率変数には離散型と連続型があり，その範囲もさまざまです．
　このページは，代表的な確率分布について，それらを比較・検討しやすいように母数（パラメータ）やグラフ等を一覧表にまとめたものです．

1. 離散型確率分布 (Discrete probability distributions)

　確率変数のとる値が有限個，あるいは無限個であっても自然数で番号が付けられる場合は「離散型」といいます．

確率分布の名称	母数 （パラメータ）	確率変数X と その範囲（区間）	単峰形		単調形		その他の 分布形	分布形（グラフ）の一例
			対称	歪み	減少	増加
二項分布	試行回数， 成功率	X ：成功数， 0 ≦ X ≦ 試行回数 [X の乱数]	●	●	—	—	—
ポアソン分布	発生回数の平均	X ：発生回数， 0 ≦ X [X の乱数]	—	●	●	—	—
超幾何分布	母集団サイズ， 母集団内の成功数， 標本サイズ （非復元抽出）	X ：標本内の成功数， 0 ≦ X ≦ 標本サイズ （非復元抽出） [X の乱数]	●	●	—	—	—
幾何分布	成功率	X ：1回成功するまでの試行回数， 0 ≦ X [X の乱数]	—	—	●	—	—
負の二項分布 （パスカル分布）	成功率， 定めた成功回数	X ：定めた成功回数に至るまでの試行回数， 0 ≦ X [X の乱数]	—	●	●	—	—
離散一様分布	有限区間の上限， 有限区間の下限	X ：有限区間内の数値， 下限 ≦ X ≦ 上限 [X の乱数]	—	—	—	—	平坦
多項分布	試行回数， 成功率1， 成功率2， 成功率3，... (全成功率の和は1)	X1，X2，X3， ... ：各成功回数 X1＋X2＋X3＋... ＝試行回数 [X の乱数]	多次元型 （二項分布の多変量化）

2. 連続型確率分布 (Continuous probability distributions)

　確率変数がある区間内の全ての実数を取り得る場合は「連続型」といいます．

確率分布の名称	母数 （パラメータ）	確率変数X と その範囲（区間）	単峰形		単調形		その他の 分布形	分布形（グラフ）の一例
			対称	歪み	減少	増加
正規分布 （ガウス分布） N ( μ, σ² )	平均 μ ， 分散 σ²	X ：実数， —∞ ＜ X ＜ ∞ [X の乱数]	●	—	—	—	—
対数正規分布	平均， 分散	X ：実数， 0 ＜ X ＜ ∞ [X の乱数]	—	●	—	—	—
指数分布	ポアソン分布に従う事象が1回生じるまでの待ち時間の平均	X ：待ち時間 0 ≦ X ＜ ∞ [X の乱数]	—	—	●	—	—
アーラン分布	ポアソン分布に従う事象が定めた回数生じるまでの待ち時間の平均， 定めた事象の回数	X ：待ち時間 0 ≦ X ＜ ∞ [X の乱数]	—	●	●	—	—
ワイブル分布	形状パラメータ， 尺度パラメータ， 位置パラメータ	X ：寿命時間 0 ≦ X ＜ ∞ [X の乱数]	—	●	●	—	—
三角分布	有限区間の上限， 頂点， 有限区間の下限	X ：実数， 下限 ≦ X ≦ 上限 [X の乱数]	●	●	●	●	—
連続一様分布 （矩形分布）	有限区間の上限， 有限区間の下限	X ：実数， 下限 ≦ X ≦ 上限 [X の乱数]	—	—	—	—	平坦
ベータ分布	形状パラメータ１， 形状パラメータ２	X ：実数 0 ≦ X ≦ 1 [X の乱数]	●	●	●	●	Ｕ型 平坦
多変量正規分布	期待値ベクトル， 分散共分散行列	Xi ：実数 —∞ ＜ Xi ＜ ∞ [X の乱数]	多次元型 （正規分布の多変量化）

3. 統計的仮説検定で用いられる確率分布 (Probability distribution for the statistical hypothesis testing)

　何を推定・検定するのかによって，それぞれの目的に応じた確率分布があります．推定・検定には多くの手法がありますが，ここでは，推定や検定でよく用いられる代表的な確率分布とその検定統計量の一例を次に示します．

確率分布の名称	母数 （パラメータ）	確率変数X と その範囲（区間）	統計的仮説検定		分布形（グラフ）の一例
			名称	検定目的の一例
標準正規分布 N ( 0, 1 )	平均 μ ＝ 0， 分散 σ² ＝ 1 （母数は定数）	X ：実数， —∞ ＜ X ＜ ∞ [分布表]	Z検定	平均の検定（母分散が既知 or 大標本） 検定統計量：(標本平均−検定する平均) を，√(分散／標本サイズ)で割ったもの
t分布	自由度	X ：実数， —∞ ＜ X ＜ ∞ [分布表]	t検定	平均の検定（母分散が未知 and 小標本） 検定統計量：(標本平均−検定する平均) を，√(分散／標本サイズ)で割ったもの
カイ二乗分布	自由度	X ：実数， 0 ≦ X ＜ ∞ [分布表]	χ²検定	分散の検定 検定統計量：偏差平方和を，検定する分散で割ったもの
F分布	自由度1（分子）， 自由度2（分母）	X ：実数， 0 ≦ X ＜ ∞ [分布表]	F検定	2つの独立した母集団の分散の検定 検定統計量： 分散1 ／ 分散2