集合論の基礎 Set Theory
■ 集合とは有限または無限の 要素(element) で構成される集まりを 集合(set) という．要素のことを元ということもある． 要素ω が集合A に属するとき ω∈A
と表す．
集合を構成する要素の数を 基数(cardinal number)，計数または濃度という．
集合A の基数が有限のとき，A を
有限集合，無限のとき 無限集合 という．
またA の全ての要素に番号付けができるときは 可算集合または可付番集合 という．集合を構成する要素 ω1, ω2, ... , ωn が明らかなとき， A ＝ { ω1, ω2, ... , ωn }
と表す．この表し方を外延的表示といい，この場合の要素の順序は問題としない．条件Q を満たす全ての要素ω からなる集合を A ＝ { ω | Q }
のように表す．この表し方を内包的表示といい，無限集合はこの形式で表現できる．基数が 0 つまり要素を一つも含まない集合を 空集合(empty set) といい，記号 0/ で表す．また，個々の問題ごとに考察の対象となる全ての要素の集合を 全集合(universal set) または全体集合といい，記号 Ω で表す(Fig.2 参照)． ある集合Ω (全集合)の要素のうち，集合A に含まれない要素の全ての集合を 補集合(compliment) といい， A またはAc と表す(Fig.3 参照)． 集合を概念的に表現する図を ベン図(Venn diagram) という(オイラー図ということもある)．ベン図では集合を円形で表し(Fig.1 参照)，全集合を長方形で表す(Fig.2 参照)のが一般的である． ■ 相等・包含・排反２つの集合A とB が 完全に同じ要素からなるとき，A とB は 相等である，または等しいといい，A＝B で表す．集合A の要素すべてが集合B に含まれるとき，A はB に包含している， または A はB の部分集合であるといい， A⊂B
で表す(Fig.4 参照)． A⊂B かつ A⊃B ならば，A＝B である．空集合はあらゆる集合の部分集合であると考える．Fig.5 のように，２つの集合A とB が まったく異なる要素からなるとき，A とB は 排反であるという．この場合，A∩B ＝0/ となる． ■ 集合における演算２つの集合A とB において， { ω∈A かつ ω∈B } である要素を全て含む集合を積集合(cap)，積(product)，交わり(meet) または共通部分(intersection)といい， A∩B
で表す(Fig.6 参照)．積集合を A・B または AB と表すこともある．２つの集合A とB において， { ω∈A または ω∈B } である要素を全て含む集合を和集合(cup)，和(sum)，結び(join) または合併集合(union)といい， A∪B
で表す(Fig.7 参照)．Fig.8 のように，集合A に属して集合B に属さない要素からなる集合 { ω∈A かつ ω∈／B } を差集合，または差(difference),といい， A−B
で表す． |
 Fig.1 ベン図(集合A)  Fig.2 全集合Ω  Fig.3 A の補集合 A  Fig.4 包含 A⊂B  Fig.5 排反 A∩B ＝0/  Fig.6 積集合 A∩B  Fig.7 和集合 A∪B  Fig.8 差集合 A−B |