中心極限定理　central limit theorem

■ 中心極限定理

平均 μ ，分散 σ² をもつ同一の確率分布に従う n 個の事象 X_i ( i ＝ 1,2, ... , n )に関して，その事象の平均 X （総和∑X_i を n で割った値）の分布を考える．このとき， n が大きくなるにつれて， X の分布は平均 μ ，分散 σ²／ n の正規分布に近づく．これを中心極限定理という．すなわち，どのような確率分布に従う事象でも，その平均あるいは和(合計)をとった分布は正規分布で近似できることを示している．

【例】中心極限定理

一様分布(連続型)に従う範囲[0, 1]の乱数（一様乱数）は，平均 μ ＝ 1／2 ，分散 σ² ＝ 1／12 である．ここで，この一様乱数12個分の合計値の分布について考えると，和であるから，平均と分散はそれぞれ12倍されて， μ ＝ 6 ，分散 σ² ＝ 1 の正規分布で近似できる分布となる．ちなみに，一様乱数12個の和から6を引いた値の分布は， μ ＝ 0 ，分散 σ² ＝ 1 の標準正規分布 N(0,1)で近似される分布となり，コンピュータシミュレーション等で正規分布に従う乱数を生成する方法の１つとしてこの定理を応用できる．
Fig.1は n 個のサイコロを振って出た目の合計数の分布を示し，その確率分布の形状を比較しやすいよう折れ線グラフで表現している．１個のサイコロは離散型の一様分布に従う範囲[1, 6]の乱数（一様乱数）で，各目が出る確率はそれぞれ 1／6 ，平均は 7／2 ，分散は 35／12 である．サイコロの数 n が大きくなると，和(合計数)の分布は正規分布に近づくことがこの図から読み取れる．

Fig.1 n個のサイコロを振って出た目の合計数の分布

■ 中心極限定理

【 例 】 中心極限定理

【例】中心極限定理