■ ブール代数とは
イギリスの数学者 ブール(George Boole) が1854年の著書「思考の法則に関する研究」で
提唱した記号論理学を ブール代数(Boolean algebra) と呼び，
1 または 0 の2値のみをもつ変数を用いる論理である．
2値代数，2値論理数学，ディジタル代数，スイッチング代数などとも呼ばれる
真(true) または 偽(false) が
明確な文章を 命題(statement) という．ブール代数では一般に命題を記号
A, B, C, ... という変数で表し，その命題が真であれば “1” ，
偽であれば “0” という2つの記号で表す．例えば 『風が吹く』 という命題を
A とするとき，風が吹けば
“A は真である” といい，
A = 1 と表す．また風が吹かなければ
“A は偽である” といい，
A = 0 と表す．
■ 基本となる論理演算
ブール代数においては基本となる論理演算として次の3つがある．
この3つの演算でブール代数の全ての演算を表現することができる．
- (1) NOT演算(NOT operation)
-
変数 A のNOT演算(否定，反転)をここでは
A （ A の上に横棒）と表し，「ノット A 」，
「 A バー」，
「 A の否定」，
「 A の反転」などと読む．
¬ A と表記する場合もある．
NOT演算は否定（反転）すなわち，
A = 1 のとき，A = 0
A = 0 のとき，A = 1
この論理演算を関数で表現すると，NOT演算(否定，反転)の関数
f は
f ( A ) = A
となる．
実際の電子回路において，論理演算は 論理ゲート(logical gate) あるいは
単にゲートと呼ばれる電子デバイスで行われる．ゲートは1つ以上の入力信号に対して
1つの出力信号を出す．入力および出力は
2値（電圧の高・低，スイッチのオン・オフなど）を取るため
ブール代数として "1", "0" を用いて表現する．
NOT演算(否定)を行うゲートはNOTゲートと呼び，
次の回路記号で表す．
| A |
|
A |
この図は左側が入力で右側が出力を表している．
正確には「△」の部分はバッファ（バッファとは入力と同一の出力をする処理で
論理演算としては特に意味はないが電子回路の入出力ゲートとして記述される
場合がある）を表す記号で，否定の意味を表現しているのは「○」記号である．
他の論理ゲートの入力部・出力部に「○」記号を付けることもある．
この表記法はMIL記法と呼ばれるもので，米国軍用規格（Military Standard）として
決められているものである．JIS規格の表記法もあるが一般的には
MIL記法を使われることが多い．
- (2) OR演算(OR operation)
-
変数 A, B のOR演算(論理和)をここでは
A + B と表し，
「 A オア B 」，
「 A または B 」，
などと読む．OR演算(論理和)は A, B 2つの入力のうち，
どちらかでも "1" である場合に "1" を出力し，2入力が両方とも "1" であっても "1" を
出力する．すなわち，いずれか1つでも入力が"1" であれば，"1" を出力する．
f ( A, B ) =
A + B
A = 0, B = 0 のとき，
A + B = 0
A = 0, B = 1 のとき，
A + B = 1
A = 1, B = 0 のとき，
A + B = 1
A = 1, B = 1 のとき，
A + B = 1
OR演算(論理和)を行うゲートはORゲートと呼び次の回路記号で表す．
入力信号が3つ以上の場合は2入力を繰り返すことで同様に演算できる．
A
B |
|
A + B |
|
A
B
C |
|
A + B + C |
- (3) AND演算(AND operation)
-
変数 A, B のAND演算(論理積)は
A・B
または演算記号を省略して AB と表し，
「 A アンド B 」，
「 A かつ B 」，
などと読む．AND演算(論理積)は，全ての入力が "1" である場合に "1" を出力し，
1つでも入力が "0" であれば "0" を出力する．
f ( A, B ) =
AB
A = 0, B = 0 のとき，
AB = 0
A = 0, B = 1 のとき，
AB = 0
A = 1, B = 0 のとき，
AB = 0
A = 1, B = 1 のとき，
AB = 1
AND演算(論理積)を行うゲートはANDゲートと呼び次の回路記号で表す．
入力信号が3つ以上の場合も同様に演算できる．
A
B |
|
AB |
|
A
B
C |
|
ABC |
■ 真理値表
論理演算をわかりやすく次のような表にしたものを
真理値表(truth table)という．
NOT演算
|
OR演算
|
A B
|
A + B
|
0 0
0 1
1 0
1 1
|
0
1
1
1
|
|
AND演算
|
A B
|
AB
|
0 0
0 1
1 0
1 1
|
0
0
0
1
|
|
【練習問題】
- 1. 次の論理回路から得られる真理値表を作成せよ．
-
(1) |
A
B |
|
f ( A, B ) |
| (2) |
A
B
|
|
f ( A, B ) |
| (3) |
A
B |
|
f ( A, B ) |
(4) |
A
B
C
|
|
f ( A, B, C ) |
- ※ 論理回路中の黒丸●は信号の分配(分岐)を表す．
- 2. 次に示す真理値表と同じ論理演算の関数 f ( A, B ) を求めよ．
|
A B
|
f ( A, B )
|
0 0
0 1
1 0
1 1
|
1
0
0
1
|
|